Cấp Số Nhân, Công Thức Tính Cấp Số Nhân Đầy Đủ Nhất Hay Nhất

cung cấp số nhân là phần loài kiến thức quan trọng trong công tác toán THPT. Vào đó, các công thức cấp cho số nhân tương đối phức tạp. Vì chưng vậy, để triển khai bài tập thì những em đề nghị ghi nhớ với biết cách vận dụng công thức. Cùng VUIHOC điểm lại các công thức và bài tập cấp số nhân qua nội dung bài viết sau đây.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) nhất trí điều kiện kể từ số hạng trang bị hai, mỗi số hạng mọi là tích của số hạng đứng tức thì trước nó với một vài không thay đổi (hằng số này được call là công bội q của cấp số nhân). Bao gồm nghĩa là:

$u_n$là cung cấp số nhân với $Leftrightarrow forall n geq 2, u_n-1$ cùng với $nepsilon N^ast $

Ví dụ: hàng số $(u_n)$, cùng với $u_n=3^n$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=3$ và công bội $q=3$.

Bạn đang xem: Công thức tính cấp số nhân

2. Công bội q

q là công bội của cấp cho số nhân $(u_n)$có

Công bội $q=fracu_n+1u_n$

Ví dụ 1: Cho cung cấp số nhân $u_1=3,u_2=9$. Tính công bội q

Ta có:

$q=fracu_2u_1=frac93=3$

Ví dụ 2: Cho cấp cho số nhân $u_3=8,u_4=16$ . Tính công bội q

Ta có:

$q=fracu_4u_3=frac168=2$

3. đặc điểm cấp số nhân

$(u_n)$ là 1 trong những cấp số nhân thì từ bỏ số hạng sản phẩm công nghệ hai, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp số nhân hữu hạn) sẽ bằng tích của số đứng trước với số thua cuộc nó.

$Leftrightarrow (u_k)^2=u_k-1.u_k+1$

Nếu một cấp cho số nhân $(u_n)$ gồm số hạng đầu $(u_1)$và công bội q thì số hạng tổng thể $(u_n)$ sẽ được tính bởi công thức:

$u_n=u_1.q^n-1$

Ví dụ : Cho cung cấp số nhân $(u_n)$ với công bội q > 0.

Biết u1 = 1; u3 =3. Hãy kiếm tìm u4

Lời giải:

Ta có: u22= u1. U3= 3

u32= u2. U4

Từ (1) vì u2 > 0 ( bởi u1=1 > 0 và q > 0)

$Rightarrow u_4=fracu_3^2u_2$

Khi q = 0 thì dãy gồm dạng u1; 0;0…;0;… với Sn=u1

Khi q = 1 thì dãy gồm dạng u1;u1;u1;...;u1;... Cùng Sn=nu1.

Khi u1= 0 thì với tất cả q, cấp số nhân tất cả dạng 0; 0; 0;…; 0;… cùng Sn=u1.

4. Tổng hợp những công thức tính cấp số nhân cơ bản

4.1. Dạng 1: nhận ra CSN

Phương pháp:

Tính $q=fracu_n+1u_nforall n geq 1$

Kết luận:

Nếu q là không thay đổi thì dãy un là cung cấp số nhân

Nếu q biến đổi thì hàng un ko là cấp số nhân

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Một cấp số nhân gồm số hạng đầu tiên là 2 với công bội là 2. Viết 6 số hạng đầu tiên.

Lời giải:

Ta tất cả 6 số hạng thứ nhất là: 2, 4, 8, 16, 32, 64

Ví dụ 2 : cấp số nhân Un gồm số hạng đồ vật hai là 10 với số hạng lắp thêm năm là 1250.

Tìm số hạng sản phẩm nhất

Viết 5 số hạng đầu tiên

Lời giải:

Đặt r là công bội của cấp số nhân.

Ta có: r(5-2)= r3 hay r3 = 1250 : 10 = 125 = 53. Từ kia r = 5.

$Rightarrow$ u1=10=5=2.

Số hạng trước tiên là 2

2, 10, 50, 1250, 6250

Ví dụ 3: bài bác cho cung cấp số nhân Un thỏa mãn: $u_n=3^fracn2+1$. Hàng số Un trên là cấp số nhân đúng hay sai?

Lời giải:

Ta có: $fracu_n+1u_n=frac3^fracn+12+13^fracn2+1=sqrt3=const$không dựa vào vào n. Vậy hàng số (Un) là một cấp số nhân cùng với số hạng đầu $u_1=3sqrt3$ cùng công bội là $q=sqrt3$

4.2. Dạng 2: tìm kiếm công bội của cung cấp số nhân

Phương pháp: sử dụng các đặc thù của CSN, thay đổi để tính công bội của CSN.

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân Un tất cả U1 = 2, U2 = 4. Tính công bội q.

Từ phương pháp ta có: $q=fracU_2U_1=frac42=2$

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân Un tất cả U1 = 3, U2 = -6. Tính công bội q.

Lời giải:

Từ phương pháp ta có:

$q=fracU_2U_1=frac-63=-2$

Ví dụ 3: Đề cho ba số x,y,z lập thành một cung cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tra cứu công bội q.

Lời giải:

Đặt q là công bội của cấp số nhân trên

Các số x, 2y, 3z lập thành một cấp cho số cùng $Rightarrow x+3z=4y$

4.3. Dạng 3: search số hạng của cấp cho số nhân

Phương pháp:

Để kiếm tìm số hạng của cấp số nhân ta thực hiện công thức tính số hạng tổng quát Un = U1.qn-1 , n ≥ 2.

Ví dụ 1: tìm kiếm u1 với q của cung cấp số nhân biết:

Lời giải:

Ví dụ 2: bài cho cung cấp số nhân (un) vớiu3= 8 , u5= 32. Số hạng lắp thêm 10 của cung cấp số nhân kia là?

Lời giải:

Gọi q là công bội của cấp cho số nhân (un), ta gồm $q^2=fracu_5u_3=4 Rightarrowq = pm 2$

Với q = 2, ta bao gồm u10= u3. Q7= 8 . 27= 1024

Với q = -2, ta bao gồm u10= u3. Q7= 8 . (-2)7= -1024

Ví dụ 3: Cho cấp cho số nhân (un), hiểu được số hạng trước tiên u1= 3, công bội là 2. Hãy tìm kiếm số hạng máy 5

Lời giải:

Áp dụng công thức ta bao gồm : un= u1. Qn–1

$Leftrightarrow$u5= u1. Q4=3 . 24= 48

4.4. Dạng 4: Tính tổng cấp cho số nhân của n số hạng thứ nhất trong dãy

Ta thực hiện công thức:

Ví dụ 1: Tính tổng cấp số nhân:

$S = 2+ 6+ 18 + 13122$

Lời giải:

(un) có u1=2 cùng q = 3.

$13122 = u_n = u_nq^n-1 = 2.3^n-1 Leftrightarrow n=9 Rightarrow S=S_9=u_1fracq_0-1q-1$

Ví dụ 2: bài cho cấp cho số nhân (un) với

5 số hạng đầu của cấp cho số nhân bên trên là gì?

10 số hạng đầu của cấp số nhân (un) trên có tổng là bao nhiêu?

Lời giải:

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân Un thỏa mãn: $u_n=3^fracn2+1$

Dãy số là cấp cho số nhân là đúng tốt sai?

Tính S= u2+ u4+ u6... + u20

Lời giải:

Ta có: $fracu_n+1u_n=frac3^fracn+12+13^fracn2+1=sqrt3=const$ không nhờ vào vào n. Vậy hàng số (Un) là một cấp số nhân cùng với số hạng đầu $u_1=3sqrt3$ cùng công bội là $q=sqrt3$

Dãy số: u2, u4, u6,..., u20 lập thành một cấp cho số nhân với số hạng đầu là u2= 9, q = 3

$Rightarrow S=u_2+u_4+u_6...+u_20=u_2frac1-3^101-3=frac92(3^10-1)$

4.5. Dạng 5: tra cứu CSN

Phương pháp:

Xác định những thành phần cấu tạo nên một cấp cho số nhân như: số hạng đầu U1, công bội q tiếp đến suy ra được phương pháp cho số hạng tổng thể .

Ví dụ 1: CSN (un) như sau, search u1 khi:

Lời giải:

Ví dụ 2: hàng số làm sao là cấp cho số nhân:

1;0,2;0,04;0,008;...

1,22,222,2222,...

X,2x,3x,4x,...

2,3,5,7,...

Lời giải:

Xét giải đáp A ta có:

u1= 1, u2= u1. 0,2, u3= u1. (0,2)2, u4= u1. (0,2)3

Sử dụng phương thức quy nạp toán học tập ta minh chứng được un= (0,2)n

Khi kia $fracu_n+1un=frac(0,2)^n+10,2=0,2$ ko đổi

Vậy hàng số là cấp cho số nhân có công bội q= 0,2

Ví dụ 3: Tìm cấp cho số nhân gồm sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 cùng tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Gọi cấp số nhân (un) đề xuất tìm tất cả công bội q, số hạng đầu tiên un.

Ta có: $s_5 = fracu_1 . (1-q)1-q$

s5" = u2 + u3 + u4 + u5 + u6

= u1q + u2q + u3q + u4q + u5q

=q . (u1+ u2+ u3+ u4+ u5)

= q . S5

Mà S5= 31; S5" = 62

$Rightarrowq=2$

$u1=fracs_5.(1-q)1-q^5=1$

Vậy cung cấp số nhân (un) là 1;2;4;8;16;32

5. Cung cấp số nhân lùi vô hạn

5.1. Định nghĩa

Nếu cung cấp số nhân (un) bao gồm công bội q thỏa mãn nhu cầu -1

Sn= u1(1 -qn)(1 - q) = u1(qn- 1)(q - 1)

Trong đó sn là tổng n số hạng thứ nhất của cung cấp số nhân (un)

Ví dụ: $frac13,frac19,frac127,frac181,frac1243$là một cấp số nhân lùi vô hạn $q=frac13$

5.2. Việc tổng của cấp số nhân lùi hạn

Đề bài xích cho cấp số nhân lùi vô hạn (công bội q), vậy ta bao gồm tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn S bằng: $S=fracu_11-q$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính tổng

$S=1-frac13+frac19-frac127+...$

Lời giải:

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn cùng với $u_1=1, q=frac-13$ nên

$S=frac11+frac13=frac1frac43=frac34$

Ví dụ 2: trình diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng số

Lời giải:

Ta có:

$0,777...= 0,7+0,07+0,007+...=frac710+frac710^2+frac710^3+...=fracfrac7101-frac710=frac79$

Vậy $0,777...=frac79$

Ví dụ 3: Tổng của một cấp cho số nhân lùi vô hạn là $frac53$ tổng bố số hạng đầu tiên của hàng số là $frac3925$. Khẳng định (u1), q của cung cấp số đó?

Lời giải:

6. Một trong những bài tập cung cấp số nhân và phương pháp giải bỏ ra tiết

Câu 1: Cho cấp cho số nhân un có công bội q

Biết u1= 2, u6 = 486. Tìm kiếm q

Biết q= $frac23$, u4 = $frac821$. Tính u1

Biết u1 = 3, q = -2. Xác minh số 192 là số hạng sản phẩm công nghệ mấy trong cấp cho số nhân?

Lời giải:

Câu 2: Tìm các số hạng của cung cấp số nhân (un) biết cấp cho số nhân gồm gồm 5 số hạng và:

TH1: u3= 3 , u5= 27

TH2: u4– u2 = 25 , u3 – u1 = 50

Lời giải:

Ví dụ 3: Tìm cung cấp số nhân bao gồm sáu số hạng, biết rằng tổng của 5 số hạng đầu là 31 cùng tổng của 5 số hạng sau là 62

Lời giải:

Ví dụ 4: tỉ trọng tăng dân sinh của tỉnh x là 1,4%. Biết rằng tại thời điểm điều tra số dân của tỉnh bây giờ là 1,8 triệu người, hỏi với mức tăng lương như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số nữa số lượng dân sinh của tỉnh kia là?

Lời giải:

Gọi số dân của tỉnh đó hiện tại là N

Sau một năm dân số tăng là 1,4%N

Vậy năm sau, số dân của tỉnh sẽ là n + 1,4%N = 101,4%N

Số dân tỉnh đó sau mỗi năm lập thành một cấp cho số nhân như sau N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)2N ; …

Giả sử N=1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh giấc là: (101,4/100)5. 1,8 = 1,9 (triệu dân)

Và sau 10 năm đang là (101,4/100)10. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Ví dụ 5: Đề bài bác cho un có những số hạng 0, kiếm tìm u1 biết:

$u_n=frac23^n-1$. Nhưng mà $u_n=frac26561 Rightarrow 3^n-1 = 6561 Rightarrown=9$

Lời giải:

Trên trên đây là cục bộ lý thuyết và những dạng phương pháp cấp số nhân. Mong muốn rằng với nội dung bài viết này, những em học sinh hoàn toàn có thể giải các bài tập tự cơ phiên bản đến nâng cấp thật thành thục. Các em truy vấn Vuihoc.vn cùng đăng ký khóa học để học cùng ôn tập kiến thức và kỹ năng Toán12 phục vụ ôn thi thpt QG ngay lập tức từ bây giờ nhé!

Cấp số nhân là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn), vào đó kể từ số hạng đồ vật hai, từng số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với một số không thay đổi q.